סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח

Transcript

1 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 עמוד

2 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תוכן העניינים נושא עמוד נושא כללי 3 רציפות זהויות טריגונומטריות 4 סווג נקודות אי-רציפות חסמים 5 פונקציות מונוטוניות סדרות והתכנסות במובן הצר 7 רציפות במידה שווה סדרות והתכנסות במובן הרחב 9 הלמה של היינה-בורל סדרות מונוטוניות נגזרות הגדרת המספר e משמעות הנגזרת מבחן השורש ומבחן המנה נגזרת הפונקציה ההפוכה תת-סדרות 3 נגזרות מסדר קבוצות של נקודות ב 5 חקירת פונקציה פונקציות 6 אקסטרמום של פונקציה פונקציות זוגיות ואיזוגיות 7 קמירות וקעירות ונקודות פיתול פונקציה מחזורית 7 אסימפטוטות פונקציות מיוחדות 7 טור טיילור גבולות של פונקציה 8 שיטת ניוטון-רפסון עמוד בהצלחה! עמוד

3 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 כללי a+ b a + b a b a b אי שוויון המשולש : ( ) + x + אי שוויון ברנולי : x ab i i ai bi i= i= i= אי שוויון קושי-שוורץ: k ( a+ b) = a b k = k! = k k!( k)! = + k k k + = + k+ k+ k k בינום ניוטון וזהויות קומבינטוריות: a b a b a a b a b b 3 = ( )( ) i i אי שוויון הממוצעים : x x i= i= i= xi ממוצע חשבוני ממוצע הנדסי ממוצע הרמוני a = 5 סדרת פיבונצי: עמוד 3

4 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 זהויות טריגונומטריות si( α ) = siα cos( α) = cosα ta( α) = taα si(9 α) = cosα cos(9 α) = siα ta(9 α) = cotα cot(9 α) = taα si(8 α) = siα cos(8 α) = cosα ta(8 α) = taα taα = si α / cosα taα cotα = si α + cos α = + ta α = / cos + cot α = /si α α si( α) = siα cosα cos( ) = cos si α α α cos( ) = cos α α cos( α) = si α ta( α) = ta α /( ta α) si(3 ) 3si 4si 3 α = α α 3 cos(3 ) = 4 cos 3cos α α α siα + si β = si( a/ + β / ) cos( a/ β / ) siα si β = si( a/ β / )cos( a/ + β / ) cosα + cos β = cos( a/ + β / )cos( a/ β / ) cosα cos β = si( a/ + β / )si( a/ β /) ( a ) ( a ) ( a ) siα cos β = / si( + β) + si( α β) siα si β = / cos( β) cos( α + β) cosα cos β = / cos( + β) + cos( α β) si( α + β) = siα cos β + cosα si β si( α β) = siα cos β cosα si β cos( α + β) = cosα cos β siα si β cos( α β) = cosα cos β + siα si β ta( α + β) = (taα + ta β) /( taα ta β) ta( α β) = (taα ta β) /( + taα ta β) ta( α + β) taα ta β = ta( α + β) taα ta β arcsiα + arccos α = π / עמוד 4

5 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חסמים הגדרות נאמר כי "קבוצת מספרים A חסומה מלעיל" אם קיים מספר קבוע M כך שלכל x A M. x M הנ "ל נקרא חסם מלעיל של הקבוצה. מתקיים נאמר כי "קבוצת מספרים A חסומה מלרע" אם קיים מספר קבוע m m. x m הנ "ל נקרא חסם מלרע של קבוצה. כך שלכל x מתקיים A אם A חסומה גם מלעיל וגם מלרע נאמר כי A חסומה. תנאי הכרחי ומספיק לכך ש- A תהיה חסומה הוא שיהיה קיים מספר L. x L כך שלכל x מתקיים A תהי A קבוצת מספרים. למספר הגדול ביותר בקבוצה (אם קיים כזה) קוראים המקסימום max{ x x או {A הקבוצה. סימונו של x. max( ) x A תהי A קבוצת מספרים. למספר הקטן ביותר בקבוצה (אם קיים כזה) קוראים המינימום mi{ x x או {A הקבוצה. סימונו של x. mi( ) x A תהי A קבוצת מספרים חסומה מלעיל. לחסם הקטן ביותר של A (אם קיים כזה) קוראים הסופרימום או החסם העליון של הקבוצה. סימונו.sup( x) x A נובע מה: תנאי הכרחי ומספיק לכך ש M יהיה הסופרימום של A הוא: x (תנאי לחסימות). A לכל x M ( x כך ש x M (תנאי למינימלי) ε > ε ε ( לכל > ε קיים A או א * *. < M, x A x >M ( M תהי A קבוצת מספרים חסומה מלרע. לחסם הגדול ביותר של A (אם קיים כזה) קוראים האינפימום או החסם התחתון של הקבוצה. סימונו.if( x) x A נובע מה: תנאי הכרחי ומספיק לכך ש M יהיה האינפימום של A הוא: x (תנאי לחסימות). A לכל x m ( ( לכל > ε קיים x A כך ש x < M ε (תנאי למקסימלי) ε ε. m > m, x A x < m * * או א ( עמוד 5

6 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 את העובדה ש A אינה חסומה מלעיל מציינים לפעמים כך: = (x. sup( x A תהי C קבוצת מספרים. תנאי הכרחי מספיק לכך ש C אינה חסומה מלעיל הוא שלכל מספר ממשי. γ > M כך ש γ C קיים M את העובדה ש A אינה חסומה מלרע מציינים לפעמים כך: =.if( x) x A תהי C קבוצת מספרים. תנאי הכרחי מספיק לכך ש C אינה חסומה מלרע הוא שלכל מספר ממשי. γ < M כך ש γ C קיים M לכל קבוצת מספרים לכל קבוצת מספרים A לא ריקה וחסומה מלעיל יש סופרימום. A לא ריקה וחסומה מלרע יש אינפימום.. x לכל > α ולכל טבעי קיים מספר ממשי אחד ויחיד ה -י של α ויסומן ב x = α או. x = α המקיים = α x זה ייקרא השורש x > עמוד 6

7 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 סדרות והתכנסות במובן הצר הגדרות סדרה } { היא קבוצת מספרים עם אינדקס בר מניה. סדרה יכולה להיות סופית או אינסופית. a. a או: יהי לקבוצה ε} { x : x a < קוראים סביבת ε של a עבור > ε כלשהו.,ε ( a נקרא סביבת εשל a+ ε ) כלשהו. אזי הקטע ε מספר ממשי ויהי > a L a = סדרה } { תיקרא מתכנסת לגבול מתקיים. a L < ε אם לכל > ε קיים או:. ε > > a L < ε a L > כך שלכל, + 3 = דוגמא לחישוב גבול סדרה עפ"י ה: + צריך להוכיח כי = lim פתרון: = = נדרוש כי 3 < ε. N( ε ) = + 3ε L { } a = a סדרה לא מתכנסת לגבול אם לכל > ε קיים כך שלכל < מתקיים. L ε a סביבה של ε אם בכל { a } = נוספת של הגבול: המספר a הוא הגבול של הסדרה נמצאים כמעט כל איברי הסדרה. סדרה שאין לה גבול נקראת מתבדרת. לסדרה מתכנסת גבול יחיד.. lim a = L אזי a מתקיים = L אם יש I כך שלכל עמוד 7

8 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 } b { שתי סדרות, ו- { a} = תהיינה ונניח שיש כך שלכל < מתקיים lim a = L. lim b אזי = L הערה: כשאנחנו מסתכלים לאן סדרה מתכנסת מעניין אותנו רק "זנב" הסדרה ולא ההתחלה שלה. = a = b { סדרה. אם } תהי. a a L אזי a L = B כך{. B= { a : אם הקבוצה { סדרה. נגדיר קבוצה } תהי B חסומה מלעיל (מלרע) אזי a = a = } { חסומה מלעיל (מלרע). כל סדרה מתכנסת היא סדרה חסומה. - אריתמטיקה של גבולות אם a a ו- b b אזי: ( ca ) = ca (4 ( b, b ) (5 b b a a ( b, b ) (6 b b ששת הפעולות הנ "ל נכונות גם ליותר משתי סדרות כל עוד מספר הסדרות הוא סופי. ( a + b ) = a+ b ( ( a b ) = a b ( ( a b ) = a b (3 { חסומה ו- b אזי ab. } אם a = עמוד 8

9 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 סדרות והתכנסות במובן הרחב. a } a { מתבדרת ל- אם לכל יש כך שלכ > M > ל M = נאמר כי. a < m > מתבדרת ל- אם לכל יש כך שלכ { a ל m } = נאמר כי } a { מתכנסת במובן הצר. = lim a נאמר כי אם = L a = / L/ lim a = נאמר כי } { מתכנסת במובן הרחב. אם אם a לכל אזי. a וכן a a לכל אזי. a וכן a אם. a < b < מתקיים כך שלכל אזי יש >a אם b, b b, a a. a < b אזי כמעט לכל a< מסקנות: ( אם a a וכן b. a > b אזי כמעט לכל a> ( אם a a וכן b. a b אזי a b תהיינה.b b, a a אם כמעט לכל. a מסקנות : ( אם a a וכן a b כמעט לכל אזי b. a ( אם a a וכן a b כמעט לכל אזי b הסנוויץ אם הסדרות } c { a },{ b },{ מקיימות כמעט לכל a וכן b c = = =. lim b = L lim אזי a כי = lim c = L.b ( ) הסנוויץ המורחב. b אזי, a b אם a וכן כמעט לכל, a אזי b וכן כמעט לכל a אם ) ( עמוד 9

10 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 סדרות מונוטוניות. a a} { סדרה מונוטונית a לא יורדת אם לכל = אומרים כי (. a a } a { סדרה מונוטונית עולה ממש אם לכל אומרים כי ( + > + = < + a { סדרה מונוטונית } = a + a { סדרה מונוטונית לא עולה אם ל } = יורדת ממש אם לכל. a ( 3 אומרים כי a ( 4 אומרים כי a כל. לסדרה מונוטונית וחסומה קיים גבול במובן הצר. אם הסדרה לא עולה (או יורדת ממש) גבולה הוא חסמה התחתון. אם הסדרה לא יורדת (או עולה ממש) גבולה הוא חסמה העליון. a a = c + = a + c : a = } { באינדוקציה כך דוגמא: נגדיר טענה : I הסדרה מונוטונית עולה. נוכיח באינדוקציה. בסיס a = a+ c > c =a a הנחה > a מעבר a = a + c > a + c =a + טענה : II הסדרה חסומה.. a < a+ נניח ש c a = c + a < c c = + c < + c המשך בדף הבא... עמוד

11 נובע כי חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 a, a L + ו- II I III מציאת הגבול a = c + + a L= c+ L L = c+ L L c L= ± + 4c L = + + 4c L = ניקח כמובן רק את השורש החיובי כי הסדרה חיובית. לסדרה מונוטונית לא חסומה קיים גבול במובן הרחב. סדרה לא יורדת (או עולה ממש) שאינה חסומה מלעיל מתבדרת ל-. סדרה לא עולה (או יורדת ממש) שאינה חסומה מלעיל מתבדרת ל-( (. סדרה מונוטונית תמיד מתכנסת במובן הרחב. הלמה של קנטור (ה על קטעים אפסים) ( I כך שאורכי I I3 I4... I) סדרת קטעים המוכלים כל אחד בתוך קודמו { I } = יהיו.{ c} = I i= הקטעים הם סדרת מספרים השואפת ל-, אזי קיימת נקודה c יחידה המקיימת הגדרת המספר e lim( + ) = e שימוש בחישוב גבולות: lim lim lim = = = = lim lim = = ( e ) = e 3 עמוד

12 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 אם a חיובית ו- L. lim a = אזי :. lim a אזי = L < ) אם. lim a ( אם > L אזי = ( 3 אם = L אין מסקנה. דוגמא:. a lim a כאשר = חשב את + פתרון: נשתמש במבחן השורש: lim a = lim = lim = + + לכן = a. lim מבחן המנה אם a +. lim אזי : = L חיובית ו- a a ( אם < L אזי = a. lim. lim a ( אם > L אזי = ( 3 אם = L אין מסקנה. דוגמא: ( ). a = lim a כאשר חשב את! פתרון: נשתמש במבחן המנה: ( + ) ( + )! + lim = lim = ( ) + ( )!. lim a לכן = עמוד

13 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תת-סדרות } { תת a k k = k k= { סדרה כלשהי ותהי } תהי סדרה של } { סדרת מספרים טבעיים עולה ממש, אזי נקרא ל a =.{ } a = { המתכנסת לגבול, L אזי כל תת סדרה שלה תתכנס ל-. L } ( תהי סדרה a = a =. ( ) ( תהי סדרה } { המתכנסת ל ( (, אזי כל תת סדרה שלה תתכנס ל a = מסקנה: אם לסדרה הרחב). } { יש תת-סדרות המתכנסות לגבולים שונים אזי לא קיים גבול לסדרה (במובן { a המתכנסת } k = k { a אם קיימת תת סדרה } = ), ) L נקרא גבול חלקי של סדרה המספר ל ), L (..{ a } } { כל סביבה של מכילה אינסוף איברים מ- = L a = L הוא גבול חלקי של סדרה ) ( ( מכילה אינסוף איברים מאיברי a} { כל סביבה של = ( ( הוא גבול חלקי של ( הסדרה. (בולצאנו-ויירשטראס) לכל סדרה אינסופית חסומה יש תת סדרה המתכנסת לגבול סופי. ( לכל סדרה אינסופית שאינה חסומה מלעיל יש תת סדרה המתכנסת ל-. ) לכל סדרה אינסופית שאינה חסומה מלרע יש תת סדרה המתכנסת ל- ( (. ( 3 } a { מתכנסת במובן הצר ל- } { יש גבול חלקי יחיד. = { סדרה חסומה. } תהי a = a = { סדרה. } תהי. a = } a { יש גבול חלקי יחד במובן הרחב } a { מתכנסת במובן הרחב ל- = = הגבול העליון (תחתון) של סדרה } { הוא החסם העליון (תחתון) של קבוצות הגבולות החלקיים של. lima a =, li גבול תחתון - a m a = } }. נסמן: גבול עליון - עמוד 3

14 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 a = },{ ולכן הגבול העליון והגבול התחתון של סדרה נתונה הם בעצם ה- max וה- mi של קבוצת הגבולות החלקיים של } { הם בעצמם גבולות חלקיים של a =.{ } a =. a = סדרה lima = lim a = L,, } { מתכנסת במובן הצר ל- L או במובן הרחב ל- ± { } { סדרה אינסופית. נסמן ב- S את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה } תהי. a a = = S אינה ריקה. מסקנה: בולצאנו-ויירשטראס קובע כי. lima חסומה מלעיל אזי { a} = maxs = אם (. lim a חסומה מלעיל אזי { a אם = mis } = (. c< a אזי כמעט לכל, c< lima אם. c> a אזי כמעט לכל, >c lima אם תנאי קושי להתכנסות אומרים שסדרה } { מקיימת את תנאי קושי להתכנסות אם לכל מתקיים < ε > ε קיים כך שלכל. a m a a = m, > תנאי קושי להתבדרות אומרים שסדרה } { מקיימת את תנאי קושי להתכנסות אם לכל מתקיים ε > ε קיים כך שלכל. a m a a = m, > } a { מקיימת את תנאי קושי להתכנסות סדרות. a} { מתכנסת במובן הצר = = סדרה עמוד 4

15 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 קבוצות של נקודות ב- תהי A קבוצת נקודות ב-. נאמר כי המקיים x α וגם. x α < ε α היא נקודת הצטברות של אם לכל x A יש ε > A הערה אם α נקודת הצטברות של מרחקן מ- α קטן מ-. ε אזי לכל A קיימות אינסוף נקודות שונות ב- ε > עבורן A (בולצאנו-ויירשטראס עבור קבוצות נקודות) לכל קבוצה אינסופית חסומה יש נקודת הצטברות (אחת לפחות). תהי a נקודת הצטברות של } { של איברים כך שלכל מתקיים כי a =, A אזי קיימת סדרה. lim a = a וכן a A קבוצה פתוחה המשלים של קבוצה סגורה היא קבוצה שבה לכל נקודה בקבוצה יש סביבה בתוך הקבוצה. קבוצה סגורה המשלים של קבוצה פתוחה קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. הערות: קבוצה A שהיא קטע פתוח איננה קבוצה סגורה. קבוצה A שהיא קטע סגור היא כן קבוצה סגורה. לכל קבוצה לא ריקה יש mi וכן.max { a אזי α היא גבול חלקי של { סדרה ותהי α נקודת הצטברות של { : } תהי.{ a} = a = עמוד 5

16 ע" נערך ע"י חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 פונקציות פונקציה הנה שלשה סדורה ),, ABG ( כאשר - A תחום הפונקציה. הקבוצה עליה מפעילים פעולה מסוימת שהגדרנו. - B טווח הפונקציה. הקבוצה שממנה בוחרים איברים שמוחזרים מהפעלת הפעולה שהגדרנו על איברי תחום הפונקציה. - G גרף הפונקציה. הכלל אותו אנו מגדירים. או: תהינה A ו -B שתי קבוצות כלשהן. פונקציה f מ- A ל- B (מסומן ( f : A B היא כלל המתאים לאברים x A איברים מ- B כך שלכל x A אליו מותאם אבר יש רק אבר אחד ויחיד B המתאים לו.. f יקרא התמונה של f ( A) = { : x A} B. f יקרא הטווח של B. f יקרא התחום של A. x y f ( y) לתכונה שבה מתאימים לאיבר ב- A איבר יחיד ב- B קוראים חד ערכיות : f היא חד-חד-ערכית. y) = f ( אזי, x = y נאמר כי אם עבור f : A B מתקיים כי אם. f נקרא תחום ה של f שאפשר להכניס לתוך x לקבוצת הערכים A. f ( A) = B והיא תקרא על אם, A תקרא שלמה אם תחום ה שלה הוא כל f : A B אם (x) f חח, שלמה ועל אז ניתן לדבר על הפונקציה ההפוכה (x) f כך שאם f : A B ו -. f ( y) = x, f : B A אזי = y הערה : אם f לא חח "ע אזי f לא תהיה חד ערכית ואז היא לא תענה על הגדרת הפונקציה. הערה: אפשר לצמצם את התחום ואת הטווח לתחום ה של f והתמונה שלה ולקבל פונקציה שלמה ועל. f : R R תיקרא מונוטונית.... < f ( y) x < y עולה ממש, אם לכל. f ( y) x < y לא יורדת, אם לכל. f ( y) x < y לא עולה, אם לכל. > f ( y) x < y יורדת ממש, אם לכל אם, g : B A, f : A B ניתן להגדיר את ההרכבה g f : A C ע "י. g = g ( ) עמוד 6

17 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4. δ קוראים סביבה מנוקבת של ברדיוס { x : < x x < δ} x תהי < δ אזי לקבוצה פונקציה זוגית ואיזוגית f ( x) אנו נקרא לפונקציה זוגית אם מתקיים (x = f ( אנו נקרא לפונקציה אי-זוגית אם מתקיים (x f ( (x )f = הערה אם פונקציה היא אי-זוגית אז כך גם ההופכית. הערה הרכבה של פונקציה זוגית עם אי-זוגית = אי זוגית. הערה פונקציה יכולה להיות לא זוגית ולא אי זוגית. פונקציה מחזורית פונקציה נקראת מחזורית אם מתקיים x) f ( x ± T ) = f ( כאשר T הוא המחזור הראשי הקטן ביותר. הערה בפונקציה קבועה אין מחזור ראשי.,x בתחום הפונקציה מתקיים: y פונקציות מיוחדות פונקציה המקיימת תנאי ליפשיץ פונקציה f נקראת ליפשיצית (המקיימת תנאי ליפשיץ) אם עבור כל. f( y) k x y פונקציה ליפשיצית רציפה במידה שווה. פונקציה המקיימת תנאי הלדר פונקציה f נקראת מקיימת תנאי הלדר אם עבור A, μ חיוביים וממשיים מתקיים:. f( y) A x y μ עמוד 7

18 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 גבולות של פונקציות lim x x = l x (הגדרת הגבול עפ"י קושי) תהי f פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של. נסמן את הגבול של f ב - אם x < x x אזי < δ מקיים x כך שאם ( x לכל < ε יש < δ (המתאים ל- ε ול-. l < ε x x אינו מושפע כלל מערך הפונקציה בנקודה גבול הפונקציה בנקודה גם אם הפונקציה. x הערה : מוגדרת בנקודה ( x ) = (x lim f ( אם לכל סדרה המקיימת x x (הגדרת הגבול עפ"י היינה) l. x נאמר כי תהי f מוגדרת בסביבה מנוקבת של =. lim f ( x ) = l מתקיים וכן x x x x הגדרת הגבול של קושי (הראשונה) והגדרת הגבול של היינה שקולות. < x x כך שלכל x המקיים < δ יתקיים אם לכל M יש < δ lim = ( ) x x ( f (x)). M > M < f (x). l < ε יתקיים (X<N) N<X כך שלכל N יש < ε אם לכל lim x ( ) = l ( ). M > f (x) M < f (x) אזי ( X<N) X>N כך שאם N יש M אם לכל lim x ( ) = ( ) הערה: באותו אופן ניתן גם להגדיר גבולות בסדרות עפ"י היינה. x δ, ) x x, + תהי f פונקציה המוגדרת ב- ) ב- [ ] ( אזי הגבול מימין (משמאל) של (x) f x ( δ δ < x x < x < x + δ x < δ < ε l x x ( אזי x < ) הוא אם לכל יש כך שאם מקיים. l < ε lim = l x x < x x פונקציה המוגדרת ב- < r אזי. lim = + x x lim x x תהי (x) f = l P < f (x) x ( P > l) P < l וכן lim אם נתון כי = l אזי יש סביבה מנוקבת של שבה x x. ( P > f (x)) עמוד 8

19 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4. lim c = c. x x g(, lim אזי : x) = G, lim. אם = F x x. lim x x. lim x x ( ± g( x) ) = F ± G x x.( G, g( x) ) ( g( x) ) = F G.. F lim =.3 x x g( x) G בסביבה מנוקבת של. x < δ ) < x x < δ המקיים x עבור כל g( x) h( אם (x כלשהו), אזי אם. lim = l נקבל lim g( x) = l = lim h( x) x x x x x x תהי f פונקציה המוגדרת באיזשהי קבוצה ב - R. S נתבונן בקבוצה S} { : x על: חסימות הפונקציה. חסם מלעיל וחסם עליון. חסם מלרע וחסם תחתון. מקסימום ומינימום (גלובליים ). אזי נוכל לדבר סביבה שבה (x) f חסומה. x) lim f ( אזי יש ל - = l תהי. f : R R אם x x x עמוד 9

20 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 רציפות x תהי (x) f פונקציה המוגדרת בסביבת (לא מנוקבת). נאמר כי (x) f רציפה ב - (רציפות x x x. lim = x x נקודתית) אם פורמלית : לכל < ε יש < δ (שתלוי ב- ε וב- ( x כך שלכל x המקיים < δ יתקיים וכן (x) lim f ותקרא רציפה משמאל אם = תיקרא רציפה מימין אם f. f x + x x ומתקיים כי לכל (a,b) f (x) x רציפה ב - [ ] [ ] ( x) f ( x ) < ε a, b מוגדרת ב- f אם. lim = x x.,a b - רציפה ב f (x) נאמר כי b ורציפה משמאל ב- a רציפה מימין ב- f (x) x רציפות ב -. ( g ) f g, f ± g, f g g ו- f תהיינה שתי פונקציות רציפות ב- x אזי a, f (( אזי אם b) ) ( c, d) כך שמתקיים ( c, d) a, ( ואילו g מוגדרת ב - אם f מוגדרת ב- (b f ( x אזי (x) g f רציפה ב - ) = y ( c, a, x ( וכן g(x) רציפה ב- ) b) רציפה ב- d. x עמוד

21 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 סיווג נקודות אי-רציפות x תהי (x) f פונקציה ו - נקודת אי-רציפות שלה אזי :, f ( x נקרא ל- ) l - לא מוגדרת או ש f ( x x) lim f ( אזי אם ) אם קיים = l l + x + l x) lim f ( ומתקיים נקרא ל - = l וכן lim ( אם קיימים וסופיים = l + x x x x x x x נקודת אי-רציפות סליקה. נקודת אי-רציפות מסוג. Ι ( 3 כל שאר נקודות אי הרציפות נקראות מסוג. ΙΙ ( אזי יש < δ כך שלכל x f ( x ) x וכן ) x < f ( אם (x) f רציפה בסביבה של ( ) ( ) > בסביבת δ (לא מנוקבת) של x יתקיים x) < f (. > c ( a,, אזי קיימת (b (ערך הביניים של ויירשטראס) f ( a) f ( b) תהי f פונקציה רציפה המוגדרת ב- [b [,a כך שמתקיים <. f ( c) ש- = כך (ערך הביניים) c קיימת f ( a) γ f ( b) אזי לכל, f ( a) f (b) ונניח כי [ a,b] תהי f פונקציה רציפה ב - בקטע b] [ a, עבורה. f (c) = γ או: אם f רציפה בקטע הסגור a,b] [ ו- c הוא כל מספר בין (a f ( ל- f () b (כולל), אזי יש לפחות x. אחד בקטע הסגור שמקיים = c, אזי f חסומה בקטע. [ a,b] (ויירשטראס ( תהי f פונקציה רציפה ב - (ויירשטראס ). mi- ו max מחזירה שם f אזי [ a,b] אם f פונקציה רציפה ב - הערה : שני הים האחרונים אינם נכונים אם (x) f מוגדרת בקטע פתוח. m = mi x [ a, b], M [ a,b] אזי תהי f פונקציה רציפה ב-, ו- x) = max f ( x [ a, b]. ([ a b] ) [ m, M ] f, = עמוד

22 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 פונקציות מונוטוניות a, (, אזי תמיד קיימים לה במובן הרחב x) lim f ( ו - b) + x a פונקציה לא יורדת ב-. lim חסומה מלעיל R x b. lim חסומה מלרע R + x a. lim, אזי תמיד קיימים x) lim f ( ו - x b + x a [ a,b] תהי (x) f. lim x b תהי (x) f פונקציה לא יורדת ב - הערה : שני הים האחרונים נכונים גם אם (x) f פונקציה לא עולה. פונקציה רציפה המוגדרת בקטע היא חד-חד-ערכית היא פונקציה עולה ממש או יורדת ממש. f f b), f ( אזי = d, f ( a) ונניח כי = c תהי f פונקציה רציפה עולה ממש (יורדת ממש) ב-[ a,b [. f a, b = c, d ([ ]) [ ] (( a, b) ) ( c, d) f = ( a, b) תהי f פונקציה רציפה עולה ממש (יורדת ממש) ב-. d = sup, c = if אזי אם x ( a, b) x ( a, b) f : a, b c, ] f f f :[ c, d] [ a, b] [ ] [ d,. רציפה ועולה ממש אזי רציפה ועולה ממש. f רציפה ועולה ממש אזי f רציפה ועולה ממש.. f : ( c, d) ( a, b), f : ( a, b) ( c, d) f יורדת ממש. הערה : שני הים האחרונים נכונים גם אם עמוד

23 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 רציפות במידה שווה שאם הגדרת רציפות במידה שווה פונקציה f תיקרא רציפה במידה שווה בתחום S אם לכל < ε יש < δ (שתלוי רק ב - ε ( כך x x < δ מקיימים x, x. f ( x ( אזי f x ) < ε ) S ( כך x רציפות נקודתית פונקציה f תיקרא רציפה בנקודה x S אם לכל < ε יש < δ (שתלוי ב - וב - ε. f ( x ) < ε אזי x x שאם x מקיים < δ. x פונקציה f תיקרא רציפה נקודתית ב - S אם f רציפה בכל נקודה S אם f פונקציה רציפה במידה שווה בקטע I אזי f רציפה נקודתית בקטע I. רציפה בקטע סגור, I אזי f רציפה במידה שווה בקטע. אם f עמוד 3

24 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 הלמה של היינה-בורל כיסוי פתוח תהי A קבוצת נקודות על הישר ותהי Σ מערכת של קטעים פתוחים. σ אנו נאמר. a σ כך ש σ Σ קיים קטע פתוח a שהמערכת Σ מכסה את A אם לכל A לדוגמא: 4.[ =Σ מכסה את הקטע [, המערכת,,, 4 3 (הלמה של היינה-בורל) אם מערכת אינסופית של קטעים פתוחים σ מכסה את הקטע הסגור סופית [ ab, ] Σ אזי קיימת תת מערכת *.[ ab, ] שגם היא מכסה את הקטע Σ = { σ σ σ, σ σ } 3 4,,,..., עמוד 4

25 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 נגזרות x תהי f פונקציה המוגדרת בסביבת. נאמר כי f גזירה ב - אם קיים הגבול f ( x. f ( x ) = lim h x + h) f ( x h ) f ( x = lim ) x x x x x - גזירה מימין (משמאל) ב f נאמר כי x δ, x ] x x, + אם f מוגדרת ב - ) עם הנגזרת ( ) ( f ( x + h) f+ ( x) = lim+ h h. f [ δ אם קיים הגבול = lim ( ( x )) f ( x f x ) f + ( + h) f ( x ) h ( x) h מסקנה. f+ ( x) = f ( x) f קיימת ( x) f ( x) את x x עבור קטע I נאמר כי f גזירה ב -I. כמו כן נתאים לכל אם f גזירה בכל נקודה ואז נקבל פונקציה חדשה שתיקרא פונקצית הנגזרת בקטע I ותסומן (x. f ( הנגזרות המיידיות x x arcsi x = ( e ) = e x = x arc cot( x) = x + x (l x) = cos x = si x x arccos x = ta( x) = x = x x x a = a a cosh x = sih x cot( ) x arcta( x) = x = (log ) si x a = + x x l a si cos x x sih cosh cos ( ) l עמוד 5

26 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 α -הזוית, a = taα ) f ( x ( הנגזרת היא שיפוע הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ) בין הישר לציר ה- x ). ) נאמר כי (t) f היא פונקציה המתארת את מקומו של חלקיק הנע על קו ישר כפונקציה של f ( t) f ( t) f ( t ) f ( t הזמן, אזי ) החלקיק, ו- הם מקומות של החלקיק, הוא פרק הזמן שעבר, ולכן הוא המרחק שעבר יתן את המהירות הממוצעת של t f ( t t ) f ( t) t נקבל את המהירות של החלקיק בזמן t t t t ל -. t אם נשאיף את t ל- החלקיק בין הזמן. t ההיא מהירות החלקיק בזמן f ) ולכן (t. x x וגזירה שם, אזי f רציפה ב- תהי f מוגדרת בסביבת c f עצמה וכן c R קבוע אזי, f g, f ± g וגזירות ב - אם f ו - g מוגדרות בסביבת x x ) g ( גזירות ב- ומתקיים :. f ± g) ( x ) = f ( x ) ± g ( x ). ( ( c f ) ( x) = c f ( x f g ו-. ).. f g) ( x ) = f ( x ) g( x ) + f ( x ) g ( x ). 3 (. f g ( x ) = f ( x x. ( x g ) g( x) f ( x g ( x ) g ( x) ) = g ( x ) ) g ( x ).4.5 עמוד 6

27 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 נגזרת הפונקציה ההפוכה. x). f ( אם : = y תהי (x) f פונקציה המוגדרת בסביבת, x f ( x. (x) f גזירה ב- וכן ) ( ( y )) y f = f ( x ). קיימת הפונקציה ההפוכה (y f ( והיא רציפה ב- y x אזי הפונקציה ההפוכה גזירה ב- ומתקיים α( x). x x פיתוח נוסף על נגזרות קירוב לינארי פונקציה α(x) תיקרא "o" קטן של x אם מתקיים Δx. α( Δx) Δ f = f באשר Δx) x ) Δ x + α( Δx אזי ניתן לכתוב אם (x f ( גזירה ב - ( x x g( f (x)) ( g f x )) (כלל השרשרת / נגזרת לפונקציות מורכבות) f (x ) = y x ו- g(y) גזירה ב- תהי (x) f גזירה ב- אזי גזירה ב- ומתקיים. ( g( )) = g ( f ( x )) f ( x = ( y ) f ( ) ( = x ) g עמוד 7

28 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 נגזרות מסדר. f ( ) ותוגדר באינדוקציה באופן הבא : ( f ) הנגזרת מסדר של פונקציה (x) f תסומן (x ( (). = ( ) ( ) ( ) ( x) אם עבור הנגזרת ה- ( ) קיבלנו (x f ( נגדיר את הנגזרת ה- ע"י (x = f ( אם f ו - g גזירות פעמים ו- c R אזי : ( ) ( ) ( ). ( f ± g) = f ± g. ( ) ( ). ( c f ) = c f. ( ) ( k ) ( k ). ( ) = f g. 3 f g k = k ) סביבת δ של נקודת ( mi) max מקומי של (x) f אם קיימת סביבה פתוחה של נאמר כי x ( ). בסביבה x מוגדרת בסביבה ולכל f (x) כך ש- ( x (פרמה) f ( x קיימת אם f מוגדרת בסביבת כך ש - נקודת max מקומי או mi מקומי אזי אם ) x x x. f ( x ) = c f ( a) = f ( b) כך ש- ( a, b) וגזירה ב- [ a,b] (רול) אם f רציפה ב- אזי קיימת נקודה כך ש-. f ( c) = (דרבו) תהי (x f ( פונקציה גזירה בקטע הסגור ], ab [ אזי הנגזרת שלה מקבלת בפנים הקטע כל ערך הנמצא / / בין a) ( לבין ) b. f ( (לגרנז הערך הממוצע) a, c ( כך ש - (b אזי קיימת נקודה (,a b) וגזירה ב- [ a,b] אם f רציפה ב - f b) f ( a). f ( c) = ( b a x) f ( אזי f קבועה. אם f מוגדרת ורציפה ב I- כך שלכל = x I (קושי הכללה ל הערך הממוצע) x) g ( בקטע אזי : a, ( ואם אם f ו- g רציפות ב-[ a,b [ וגזירות ב- (b. g( a) g( b). f + עמוד 8

29 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4. f ( c) = g ( c) f ( b) f ( a) g( b) g( a) a, c ( עבורו. קיים b) עמוד 9

30 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 x), lim f ( אזי lim g( x) = + x a = + x a (כלל לופיטל עבור ( a, < δ ) ( ( וכן אם f ו - g מוגדרות וגזירות בסביבת ) δ a +. lim = l אזי g ( x) אם קיים lim = l וכן + + g x x a g x a ( ) ( x) הכללות: ( כלל לופיטל עובד גם כאשר הגבולות כולם הם משמאל ל-. lim : a x a. lim = l x x g( x), g ( x) ( אם f ו- g מוגדרות בסביבה מנוקבת של, x x) lim f ( וכן lim = l אזי = lim g( x) = x x g ( x) x x x x x) lim f ( וכן = lim g( x) x) g ( ונניח כי =, ( a, ( 3 אם f ו- g גזירות ב- ) x x אזי. lim = l x g( x) lim = l x g ( x) lim אזי אם + x a lim g( x) ) δ < ( וכן = = + x a (כלל לופיטל עבור ( ( a, תהיינה f ו- g מוגדרות ורציפות ב- ) δ a +. lim = l אזי g ( x) וכן g x lim + x a ( ) + x a f g ( x) = l ( x) קיים + הערה : גם ב זה מתקיימות ההכללות עבור / a x a / כמו ב הקודם. עמוד 3

31 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חקירת פונקציה.( תהי x) f ( פונקציה גזירה בקטע, ab שלה תשווה לאפס באופן זהותי. ) בכדי שהפונקציה תהיה קבועה בקטע הכרחי ומספיק שהנגזרת תהי (x f ( פונקציה גזירה בקטע ), ab ). בכדי שהפונקציה תהיה לא יורדת בקטע, הכרחי ומספיק ( ). שעבור כל, ab x יתקיים תהי (x f ( פונקציה גזירה בקטע ), ab ). בכדי שהפונקציה תהיה לא עולה בקטע, הכרחי ומספיק ( ). שעבור כל, ab x יתקיים תהי x) f ( פונקציה גזירה בקטע ), ab.( אם לכל ), ab x ( x) f ( עולה ממש. תהי ) x f ( פונקציה גזירה בקטע ), ab.( אם לכל ), ab x ( x) f ( יורדת ממש. יתקיים > ) x f ( אזי הפונקציה יתקיים < ) x f ( אזי הפונקציה בכדי ש x) f (, ab תהי x) f ( פונקציה גזירה בקטע תהיה עולה ממש בקטע הכרחי ומספיק ( ).( ). x ( ) שיתקיימו שני התנאים: ab, לכל ( ( הנגזרת (x f ) אינה מתאפסת באופן זהותי באף קטע חלקי ל, ab. בכדי ש( x f ( תהיה יורדת ממש בקטע הכרחי ומספיק ( ).( ab, תהי ) x f ( פונקציה גזירה בקטע ). x ( ) שיתקיימו שני התנאים: ab, לכל ( ( הנגזרת (x f ) אינה מתאפסת באופן זהותי באף קטע חלקי ל, ab. עמוד 3

32 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 אקסטרמום של פונקציה x x תהי x) f ( פונקציה המוגדרת בסביבה של הנקודה f. אנו אומרים ש (x ( x מקבלת בנקודה. f( x מקסימום אם קיימת סביבה של x שעבור כל x השייך אליה מתקיים ) הנקודה x נקראת נקודת מקסימום מקומי. תהי (x f ( פונקציה המוגדרת בסביבה של הנקודה. אנו אומרים ש (x f ( x מקבלת בנקודה. f( x מינימום אם קיימת סביבה של x שעבור כל x השייך אליה מתקיים ) הנקודה x נקראת נקודת מינימום מקומי. נקודות מינימום ומקסימום מקומיים נקראות נקודות אקסטרמום. תהי (x f ( פונקציה המוגדרת בסביבה של הנקודה סטציונרית של x) f ( אם = ) x. f ( וגזירה ב- x נקראת נקודה. הנקודה x x x x היא נקודת אסקטרמום של תהי x) f ( פונקציה המוגדרת בקטע ), ab ( ויהי ), ab. x ( אם (x f ( אזי היא נקודה סטציונרית של (x f ( או ש (x f ( איננה גזירה כלל ב. x תהי x) f ( פונקציה המוגדרת בסביבה של הנקודה, פרט אולי ל- f ( אזי אומרים ש( x f( x + h) > ו- f( x h) שלכל < h < δ < ) + ( בעוברה דרך הנקודה. עצמה. אם קיים > δ כך משנה את סימנה מ- ( ( ל- x x x תהי x) f ( פונקציה רציפה בסביבה מסוימת של הנקודה x x (כולל עצמה) וגזירה בסביבה, פרט x עצמה. אולי ל- x נקודת אקסטרמום x אזי א) אם הנגזרת (x f ) משנה את סימנה כשהיא עוברת דרך אמיתי של x). f ( אם השינוי הוא מ- ( ( ל-( + ( - נקודת מינימום מקומי. אם השינוי הוא מ-( + ( ל- ( ( - נקודת מקסימום מקומי. x עצמה) אזי ב- x שבה ל- (x f ) סימן קבוע (מחוץ אולי ל- ב) אם קיימת סביבה של אין נקודת אקסטרמום. x עמוד 3

33 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תהי x) f ( המוגדרת בסביבה מסוימת של הנקודה וגזירה ב- פעמיים. אם f ( x ו- ) = x x x יש אקסטרמום אמיתי. f ( x אזי ב- ). f ( x מקסימום אם < ). f ( x מינימום אם > ) x ונניח ש : תהי (x f ( פוקנציה הגזירה פעמים בנקודה = =.. = = f ( x ) אזי x אין נקודת אקסטרמום. אם איזוגי ב x יש נקודת אקסטרמום : אם זוגי ב f ( x - מקסימום אם < ) - מינימום אם > ) x f ( עמוד 33

34 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 קמירות קעירות ונקודות פיתול הגדרות תהי (x f ( פונקציה המוגדרת בסביבה מסוימת של הנקודה x ונניח שקיימת לה נגזרת סופית בנקודה. ( x x) בה אם יש סביבה של x x קמורה ב- f נאמר כי. x תהי (x f ( פונקציה המוגדרת בסביבה מסוימת של הנקודה x ונניח שקיימת לה נגזרת סופית בנקודה (x בה x אם יש סביבה של x. f ( x )( x. x נאמר כי f קעורה ב- תהי (x f ( פונקציה המוגדרת בסביבה מסוימת של הנקודה הפונקציה קמורה וסביבה שמאלית של. בה הפונקציה קעורה אזי נאמר ש- תהי אם קיימת סביבה ימנית של נקודת פיתול של x שבה x x x x x x נקודת פיתול נקודת קמירות נקודת קעירות. אם תהי x) f ( בנקודה פונקציה גזירה פעמיים בנקודה ויהי הפונקציה קעורה בנקודה f ( x הפונקציה קמורה ) > f ( x ). x x f ( x, ואם < ) x תהי (x f ( פוקנציה הגזירה פעמים בנקודה ונניח ש : x f ( x ) = f ( x ) =.. = f ( x ) = f ( x ) אזי אם איזוגי ב. קיימת נקודת התפתלות של x אם זוגי ב x אזי לא קיימת נקודת התפתלות של (x. f ( עמוד 34

35 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 קמירות וקעירות בקטע < λ ולכל < x, y תהי f מוגדרת על הקטע המוכלל f. I תקרא קמורה על I אם לכל I מתקיים: f ( λx+ ( λ) y) λf( x) + ( λ) f( y) < λ ולכל < x, y תהי f מוגדרת על הקטע המוכלל f. I תקרא קעורה על I מתקיים: f ( λx+ ( λ) y) λf( x) + ( λ) f( y) I אם לכל עמוד 35

36 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית. lim f( x) הישר x = x נקרא אסימפטוטה אנכית ל f אם = x x אסימפטוטה משופעת. lim( f( x) ( mx+ )) באינסוף אם = f נקרא אסימפטוטה משופעת ל- y = mx+ הישר x : נוסחאות לחישוב:, m = lim אם זה קיים וסופי נמצא את הקבוע x x = lim( f( x) mx) x הערה: צריך לזכור לבדוק גם לאינסוף וגם למינוס אינסוף! עמוד 36

37 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 טור טיילור הפיתוח של טור טיילור הוא: 3 f ( a)( x a) f ( a)( x a) f ( a)( x a) = f( a) + f ( a)( x a) R! 3! ( )! כאשר R הוא השארית אחרי איברים. השארית יכולה להופיע בשתי צורות: R ( ) f ( ξ )( x a) R = ( צורת לגרנז:! ( ) f ( ξ)( x ξ) ( x a) = ) צורת קושי: ( )! כאשר הערך ξ שיכול להיות שונה בשתי צורות השארית, הוא בין a ו-. x יש צורך שלפונקציה יהיו נגזרות רציפות לפחות. 3 x x x e = + x ( < x< )! 3! 3 4 x x x l( + x) = x +...( < x ) x x x si( x) = x < x< 3! x x x cos( x) = < < 4 6 ( ) ( x ) פיתוחים שונים: עמוד 37

38 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 שיטת ניוטון-רפסון ), ab (. נניח ש תהי f רציפה ב-, ab כך ש( b f ( a) < < f( כך ש f גזירה פעמיים בקטע (כלומר a< x< b לכל f ( x f ( x וגם > ) ) > את הנקודה היחידה בקטע כך ש = c ()f אזי: מונוטונית עולה ב-(, ab ( ). נסמן ב c [ ] x = } { המוגדרת ע"י שיטת ניוטון-רפסון מקיימת. li x = c m M, x c x m + c הסדרה הערכת השגיאה ( ( M = max a x b m= mi a x b כאשר M, m הם נוסחא לאיטרציות ניוטון-רפסון: x = + x f ( x ) f ( x ) עמוד 38